DOCTRINA DE LA VERDAD COMO COHERENCIA

Tesis: La diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables

DEMOSTRACIÓN (VERDAD COMO COHERENCIA)

La irracionalidad de la raíz de dos

Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir "de la escuela pitagórica") a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos. Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo. Vamos a centrarnos en este artículo en la raíz de dos. Inconmensurabilidad Lo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares permite la siguiente reconstrucción: Terorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables. Demostración: Sea h la diagonal de un cuadrado y c su lado. Por el teorema de Pitágoras: h2 = c2 + c2 = 2c2 Entonces: h2c2=2